Aujourd’hui, avec l’aide de Merlin, en classe, on a finalement résolu un problème topologique (note: j’ai jamais fait de topologique, d’où le fait que cet énoncé fort simple soit qualifié de problème) qui me turlupinait l’arrière de la tête depuis un bon bout de temps.
Soit une sphère. Une petite taupe y creuse un trou bord en bord. Cela fait un tore, pas de problème jusque là, c’était une simple introduction.
Soit une sphère. Deux taupes y entrent au même endroit et creusent dans le même trou, mais à mi-chemin, se séparent pour sortir à deux endroits différents.
Soit une sphère. Deux taupes y entrent au même endroit et creusent dans le même trou, mais à mi-chemin se séparent, chacune dans leur trou respectif, mais avant qu’elles ne sortent, les deux trous se rejoignent à nouveau en un seul avant de sortir de la sphère, par un seul endroit.
Quelle surface topologique sont ces deux dernières?
J’ai finalement vu que les deux correspondent en fait à la simple somme connexe de deux tores. L’astuce pour le comprendre réside dans le fait de pouvoir “glisser” l’entrée d’un trou sur la surface. Hé bien, par exemple, dans le premier cas, on peut simplement qualifier le parcours de la taupe 1 le trou principal, et le parcours de la taupe 2 à partir du moment où elle s’est séparé de la taupe 1, le trou secondaire. Il suffit ici de glisser l’entrée (là où les deux taupes se sont séparées) du trou secondaire sur la surface, le long du trou principal, jusqu’à ce que l’entrée du trou secondaire soit sortie et bien en vue sur la surface de la sphère. Et voilà, somme connexe de deux tores.
La seconde surface est laissée en exercice. La démonstration est triviale.
